Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX.

Conceptos básicos

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

Los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Hay un conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), que es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando, así si hablamos de números enteros, U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en las mayoría de los casos se da por supuesto, dado el contexto que estemos tratando.

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, que lo representaremos por A^c o A’. El conjunto complemento es respecto al conjunto universal de los conjuntos que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minuscula: a, b, k,...

Notación

Por lo regular se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto dado. Si es un conjunto, y a,b,c,d...todos sus elementos, es común escribir:

A=(a,b,c,d) (1)

para definir a tal conjunto A. La notación empleada en (1) para definir al conjunto A se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento x pertenece a un conjunto A, escribimos xEA(léase xen Ao bien xpertenece a A). La negación de xEAse escribe xEA(léase x no pertenece a A).

Si todos los elementos xde un conjunto Asatisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

A=(x : p(x) )

A es el conjunto de elementos x, que cumplen p(x), donde el símbolo : se lee "se cumple que", y puede ser remplazado por una barra /"tal que".

Por ejemplo, el conjunto A=(1,2,3,4)puede definirse por:

A=(n :1 ≤ n ≤ 4 / n E N).

El símbolo representa al conjunto de los números naturales.

Complemento de un conjunto

Dado un conjunto A, se representa por A´al complemento de A, el cual es un conjunto que verifica la proposición:

x E A´por lo tanto x E A

para cualquiera que sea el elemento . Así pues, está formado por todos los elementos que no son del conjunto .

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos Ay Bse dicen iguales, lo que se escribe A=Bsi constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento , se verifique
x E A por lo tanto x E B
PROBLEMAS:
DADO LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DETERMINE LAS NOTACIONES RESTANTES:
A=(n :-1 ≤ n ≤ 4 / n E N)
B=(n :-2 ≤ n ≤0 / n E N)
C=(n :1 ≤ (n+1) ≤10 / n E N)
D=(-1,1,3,5,7,9)